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# Numerical analysis

Tags Computer scienceMath @June 9, 2021 2:27 PM @May 8, 2022 2:05 PM

# Prerequisites

• Single variable calculus.
• Linear algebra.

# Key questions

## Numerical analysis, numerical methods, or symbolic calculation

#### Differences

NameDifferencesSimilarities
Numerical analysisProofRigorousnumerical methodsAlgorithms
Numerical methodsAlgorithms
Symbolic calculationDeductive

# Story

William Kahan

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Seidel/

# Glosario

Modelo matemático. Descripción de un sistema (fenómeno, procedimiento, procedimiento …) usando la teoría (gramatica, principios, sus reglas) de alguna de las áreas de las matemáticas (análisis numérico, ecuaciones diferenciales, teoría de automatas, probabilidades, topología, …) .

Exactitud. Cualidad de conocimiento sobre la magnitud real.

Precision.  Dispersión del conjunto de valores obtenidos o medidos de un instrumento.

Sesgo o inexacitud. Diferencia entre la magnitud real y los valores obtenidos.

Incertidumbre o imprecision. Dispersión tendiendo a cero de los valores obtenidos de un instrumento.

# Mathematical preliminaries and Error Analysis

## 1.1 Review of Calculus

### Worked examples

1. Show that the following equations have at least one solution in the given intervals.
• $xcos(x)-2x^2+3x-1=0,[0.2,0.3]\text{ and }[1.2,1.3]$﻿

As $f(x)=xcos(x)-2x^2+3x-1$﻿ is continuous and

$K=0$﻿,

The Intermediate Value Theorem implies that a number x exists, with $0.2﻿.

If $f\in C[1.2,1.3]$﻿ and 0 is a number between $f(1.2)=0.1548$﻿ and $f(1.3)=-0.1322$﻿, then there exists a number $c$﻿ in $(1.2,1.3)$﻿ for which $f(c)=0$﻿.

1. Find intervals containing solutions to the following equations.
• $x-3^{-x}=0$﻿

## 1.2 Round-off Errors and Computer arithmetic

Def. Floor function

Def. Chopping or truncating is a function such that

Def. Suppose that $p^*$﻿ is an approximation to $p$﻿.

## How Many Decimals Do We Really Need?

Floating-Point Computation by Pat Sterbenz

• IEEE 754

# How can minimize the error upon arithmetic operations?

• Minimize the number of arithmetic calculations.
• Polynomials should always be expressed in the nested form before performing an evaluation.
• Use rounding over chopping.
• Prioritize the operations by error-producing sum, multiplication, division.

### Worked examples

1. Determine the six-digit a) chopping and b) rounding values of the $\phi,e$﻿.

## Chapter notes

https://nptel.ac.in/content/storage2/courses/122104019/numerical-analysis/Rathish-kumar/numerr/new4.htm

# Solutions of Equations in One Variable

## Worked examples

1. Da la definicion de numero de maquina en la forma de punto flotante decimal normalizado.

Sea el punto flotante decimal normalizado analogo al punto flotante binario normalizado para representar las operaciones de los numeros de maquina segun el IEEE754 en base 10 y siendo inspirado en la normalizacion de la notacion cientifica (aqui tomamos $d_0=0$﻿), a saber, el punto flotante decimal normalizado tiene la forma:

donde $d_1$﻿ es distinto de 0 ($d_1\in N \text{ tal que }1\le d_1\le9$﻿) y los siguientes terminos del significando o mantisa $d_i$﻿ son cualquier numero menor a la base 10 ($d_i \in N \text{ tal que } 0\le d_i \le 9 \lor2\le i\le k$﻿), 10 es nuestra base $b$﻿, $n$﻿ el expontente y $k$﻿ digitos decimales del numero de maquina tal que

$\pm(d_0+d_110^{-1}+...+d_{k-1}10^{-k+1})10^{n}=y,y\in R$﻿

Ejemplo:

$y=10.15$﻿

$normalize(y)=0.1015\times10^2$﻿

porque

$(0+1\times10^{-1}+0\times{10^0}+1\times10^{-2}+5\times10^{-3})\times10^{2}=$﻿

$10+0+0.1+0.5=10.15$﻿

2.a

Si $lim_{x\to0}xcosx-sinx=lim_{x\to0}x-sinx=0$﻿,

entonces por regla de L’Hopital (*)

Si $lim_{x\to0}-xsinx=lim_{x\to0}1-cosx=0$﻿,

entonces por *

2. b

Redondeo a 4 digitos.

$f(0.1000\times 10^0)\\=\dfrac{(0.1000\times 10^0)cos(0.1000\times 10^0)-sin(0.1000\times 10^0)}{(0.1000\times 10^0)-sin(0.1000\times 10^0)}\\ =\dfrac{(0.1000\times 10^0)(0.9950\times10^0)-(0.9983\times10^{-1})}{(0.1000\times 10^0)-(0.9983\times10^{-1})}\\ =\dfrac{(0.9950\times 10^{-1})-(0.9983\times10^{-1})}{0.1669\times10^{-3}}\\ =\dfrac{-0.3300\times10^{-3}}{0.1669\times10^{-3}}\\ =-0.1977\times10^{1}$﻿

2.c

$cos(0.1000\times 10^0)=(0.1000\times10^0)-\dfrac{(0.1000\times10^0)^2}{(0.2000\times10^1)}+O(x^4)=\\ (0.1000\times10^0)-\dfrac{(0.1000\times10^{-1})}{(0.2000\times10^1)}+O(x^4)=\\ =(0.1000\times10^0)-(0.5000\times10^{-2})+O(x^4)\\ =0.9950\times10^{0}+O(x^4)$﻿

$sin(0.1000\times10^0)=(0.1000\times10^0)-\dfrac{(0.1000\times10^0)^3}{0.6000\times 10^1}+O(x^5)\\ = (0.1000\times10^0)-\dfrac{(0.1000\times10^{-2})}{0.6000\times 10^1}+O(x^5)=\\ (0.1000\times10^0)-(0.1667\times10^{-3})+O(x^5)= (0.9983\times10^{-1})+O(x^5)$﻿

1. d

2.e

1. Usa el metodo de Steffensen para encontrar una aproximacion a la raiz de

con $p_0 = −1$﻿, $TOL = 1 \times 10^{−5}$﻿ y usa al menos 10 digitos en los calculos.

Vas a poner las formulas o ecuaciones que usaste en cada uno de los calculos aritmeticos que realizaste.

1. Find root of a number using Newton’s method

https://opensource.apple.com/source/Libm/Libm-47.1/ppc.subproj/sqrt.c.auto.html

https://math.mit.edu/~stevenj/18.335/newton-sqrt.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/296102/fastest-square-root-algorithm

https://stackoverflow.com/questions/63450864/ieee-754-conformant-sqrt-implementation-for-double-type

Tabla comparativa

 Metodo Diferencias Ventajas Desventajas Biseccion Basado en el teorema del valor intermedio, determinando cualquier intervalo lo satisface hasta lograr la tolerancia deseada. Por tanto, necesita un intervalo [a,b]. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=1$﻿ El mas simple de implementar. No necesita calculo de derivada. Siempre converge a la raiz. El mas lento por su radio de convergencia. No encuentra raices complejas. Buenas aproximaciones pueden ser rechazadas. Netwon-Rapshon Metodo de punto fijo, que necesita del calculo de la derivada. Necesitando un punto @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$p_0$﻿ como entrada. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=2$﻿ siempre que M= El mas rapido, su radio de convergencia es @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=2$﻿ Necesita calculo previo de derivada. No encuentra raices complejas. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$f’(x)=0$﻿ el metodo diverge. Depende en gran medida de @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$p0$﻿ para converger (no esta en el intervalo@import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$[p-\delta, p+\delta]$﻿) Secante Metodo de punto fijo, que NO necesita del calculo de la derivada, usando su aproximacion mediante la def. Necesitando dos puntos de la secante @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$p_0,p_1$﻿ como entrada. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=\phi$﻿ No necesita calculo de derivada. No encuentra raices complejas. Puede diverger. Regula falsi Adaptacion del metodo de la secante y biseccion que asegura que la raiz este en el intervalo @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$[p_0,p_1]$﻿. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=1$﻿ No necesita calculo de derivada. No encuentra raices complejas. No es recomendado por (Burden, 73). Müller Basado en metodo de la secante, pero en vez de una linea usamos una parabola, por tanto, necesitamos 3 puntos. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$p_0,p_1,p_2$﻿. @import url('https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/KaTeX/0.13.2/katex.min.css')$a=1.87$﻿ No necesita calculo de derivada. Calcula raices complejas. Puede diverger.

http://www.math.usm.edu/lambers/mat460/fall09/lecture7.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/2473794/asymptotic-order-versus-order-of-convergence

https://math.stackexchange.com/questions/976942/whats-the-formal-difference-between-analytical-and-numerical?rq=1

# Numerical linear algebra

## Solving Linear Systems

### Approximate solutions by iterations

Exact solutions tend to be inefficiency $O(n^3)$﻿. Our computers save us by their power processing in complex calculations. Thus the methods were born.

We say that a method approximate to the solution $x$﻿ from an arbitrary initial vector $x^{[0]}$﻿ where each k iteration tend to $x^{[0]},x^{[1]},x^{[2]},...,x^{[k]},...\rarr x$﻿ such that $Ax=b$﻿.

The method converges when $lim_{k\rarr \infty} x^{[k]}=x$﻿, otherwise it diverges.

### Jacobi method

This method was discovered by Carl Gustav Jacob Jacobi, which use triangular matrices.

https://sci-hub.do/https://doi.org/10.1080/0020739980290204

https://arxiv.org/pdf/1304.2097.pdf