🥇

Math Olympiad Problems

TagsMathScience
Created
Updated
  1. Suponga que k es un número real para el cual la gráfica de la función f(x)=x^4+x^3-kx tiene eje de simetría vertical. Se sabe que k se puede expresar como a/b a/b {a;b} son enteros positivos coprimos. Determinar el valor de a+b.

Solution.

We have f(0)=0,f(x0=1)=kk=f(x1)=x14+x13kx1,k1/3=x1Thus f(1)=f(k1/3)If f(x0+axis)=f(x0+axis) By even function definitionThen f(axis+d1)=f(axisd1)=0f(axisd1d0)=f(1)f(axis+d1+d0)=f(k1/3)f(1+d1+d0)=0f(k1/3d1d0)=00=f(0)=f(1+1)=f(k1/31)Solving for f(k1/31)=0k=18=abHence, a+b=1+8=9\text{We have } f(0)=0, f(x_0=-1)=k\\ k=f(x_1)=x_1^4+x_1^3-kx_1,k^{1/3}=x_1\\ \text{Thus }f(-1)=f(k^{1/3})\\ \text{If } f(x_0+axis)=f(-x_0+axis)\text{ By even function definition}\\ \text{Then }\\f(axis+d_1)=f(axis-d_1)=0\\ f(axis-d_1-d_0)=f(-1)\\ f(axis+d_1+d_0)=f(k^{1/3})\\ f(-1+d_1+d_0)=0\\ f(k^{1/3}-d_1-d_0)=0\\ 0=f(0)=f(-1+1)=f(k^{1/3}-1)\\ \text{Solving for }f(k^{1/3}-1)=0\\ k=\frac{1}{8}=\frac{a}{b}\\ \text{Hence, }a+b=1+8=9

https://www.geogebra.org/calculator/wnnbsqzj